Splitter之十： 1/4波长阻抗变换器

岛主不想讲公式，但有时候感觉讲课深入浅出的能力很有限，不得不多少讲点公式。如下图所示的特征阻抗为Z0的传输线，假设与负载ZL连接。

假设一个正弦信号Vi*e^-j^βz从Z<0入射到这个由传输线和负载构成的RF系统中。当信号在传输线上传播时，传输线上各点的信号电压幅值为V(z)，电流幅值为I(z)，(z)意思是随着位置z的变化而变化。

根据阻抗定义：Z0 ＝V(z)/ I(z) ―――――――⑴

当信号到达负载时，此时在z = 0处产生了阻抗不连续性。为了让z=0处负载的边界条件得到满足，传输线上必然产生一个反射信号Vr*e^+j^βz，这是阻抗不匹配导致的信号反射。那么结合入射信号和反射信号，传输线上任意一点的电压和电流分别为：

V(z)= Vi*e^-j^βz + Vr*e^+j^βz ―――――――――⑵

至于e^+j^βz 是啥，建议再去温习一遍伟大的欧拉公式、极坐标、单位圆、复平面直角坐标的转换关系，等等基础概念，就知道是啥了。

联立⑴、⑵，得到：

在z = 0处：

进一步得到：

式中的(ZL–Z0)/(ZL+Z0)，就是反射系数：

那么在传输线上任意一点，电压和电流可以表示为：

那么从距离终端阻抗l = -z处看此RF系统时的等效输入阻抗Zin可表示为：

再将⑹代入⑼，得到：

化简：

上面的⑾式就是传输线的阻抗方程。

⑾式中的βl是以角度（或弧度）表示的传输线电长度。

β = 2π/λ

如果l=λ/4，那么⑾式中tanβl是个无穷大值，将其代入⑾式，得到：

Zin = Z0 * Z0/ZL

也就是说：Z0^2 =Zin * ZL ――――――――― ⑿

其物理意义在于：一段1/4导波波长的传输线，如果其阻抗Z0符合⑿式——Z0等于源阻抗Zin和负载阻抗ZL的几何平均值，则这个RF系统的阻抗是匹配的。

这个很重要的基本概念，几乎应用于所有的微波射频无源器件的图形设计，所以一定要掌握。

在ADS中搭个简单电路：

Term1端的阻抗是100欧，Term2端的阻抗是50欧，中间用长度为90度@2GHz、阻抗为70.7欧传输线连接起来，传输线阻抗符合⑿式，仿真得到的S参数如下：

无论把哪端当做源端，可以看出在2GHz频点，回波损耗指标非常好，说明2GHz频点的阻抗是匹配的。

1/4导波波长、70.7欧传输线用于前面文章中所提到的一分二等功分器。

原文始发于微信公众号（看图说RF）：020_Splitter之十： 1/4波长阻抗变换器

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