野蛮优化与手工计算阶梯阻抗对比 留言

手工计算阻抗变换器有多么复杂啊

多阶阻抗变换器的小反射理论给出的反射系数结论：

符合切比雪夫纹波的反射系数公式：

还有切比雪夫展开式：

T8(x)= 128x⁸ – 256x⁶ + 160x⁴ – 32x² + 1；——-④

将各种已知条件：N=8，secθm = 1.05145，A=0.05351，x=seθm*cosθ代入上面的三个式子②③④，得到最终的恒等式：

2* cos8θ * Γ0 + 2 * cos6θ * Γ1 + 2 * cos4θ* Γ2 + 2 * cos2θ * Γ3 + Γ4

=A * (128 * (1.05145*cosθ)⁸ – 256 * (1.05145*cosθ)⁶+160 * (1.05145*cosθ)⁴ -32 * (1.05145*cosθ)² + 1)。    ———⑤

需要将等式右边再展开成cosnθ的多项式，然后再根据“同类项系数相等”的原则，求出各5个未知数Γ0~Γ4。

问题在于仅仅一个cosθ的8次方，展开会有多少项吗？

有10项三角函数的分式计算，还没算后面的6次方啥的。疯了！

补充说明一点：A=0.05351是怎么来的？，因为N = 8，而不是计算出来的N=8.225，所以要根据N = 8重新算一个带内反射纹波最大值A = Γm。

根据下式计算：

不用⑨式后面的近似≈计算，否则有误差。

 

工程上的简洁方法

三步走！

首先：用5个已知的cosθ值，构建五元一次方程组

充分利用EXCEL的三角函数功能：根据cosθ=0，0.1，0.2，0.3，0.4，反余弦后分别算出θ，那么⑤式左边5个系数值就很容易算出来，分别为F~J列：

而⑤式右边，则是E列，也等于K列。

那么，F~K列就构成一个行列式，对应五元一次方程的系数：

F* Γ0 + G * Γ1 + H * Γ2 + I * Γ3 + J * Γ4 = K

得到5个等式，构成五元一次方程组。

 

其次：利用EXCEL解方程得到反射系数

解方程的方法，参见：https://jingyan.baidu.com/article/948f5924a74094d80ff5f90a.html

选中5*5的空白区域，用如下函数MINVERSE(AX:BY)求逆矩阵的函数，来求出系数的逆矩阵的数值解：

然后再选中K10~K14的5个格子，用来存放方程组的解：如下图红色至绿色为止的5个格子，分别对应Γ0、Γ1、Γ2、Γ3、Γ4。函数用MMULT(F10:J14,K3:K7)。

(F10:J14,K3:K7)表示逆矩阵和方程组等式右边的常数项。

由于前面小反射理论的假设条件是反射系数镜像对称的，所以K列以Γ4=0.04449911为镜像对称。

 

然后：用反射系数算出各阶梯的阻抗

当9个反射系数算出来之后，就可根据上文的⑨式计算各阶梯的阻抗：

其中L列是⑨式近似公式算出来的阻抗，M列是⑨式精确公式算出来的阻抗。

而黄色块中的阻抗表示源阻抗50欧和负载阻抗100欧。

显然精确公式算出来的负载阻抗100.06欧更接近于100欧真实值。

 

为什么用cosθ=0，0.1，0.2，0.3，0.4这五个数？没啥原因。如果你改用0.6、0.75、0.23232这些任意的数值都是可以的。而且你会发现改变cosθ的值，方程组的解不变！这说明这种解方程的方法是正确的。

 

野蛮优化与手工计算结果对比

下面来对比精确公式算出的阻抗与野蛮优化的阻抗做个对比：

将两种方式算出来的多节阶梯阻抗，在ADS中建模如下：

仿真得到的回波损耗曲线非常接近，如下图所示：

手工计算很接近于野蛮优化！

算出来的各阶梯阻抗非常接近，误差仅0.3%：

上面的模型只是原理级仿真，后续工程物理实现的路还长着呢。例如要考虑阻抗突变结效应吧？要有电磁仿真吧，再考究一点，要做门特卡罗误差分析吧。。。

 

 

 

总结

野蛮优化很接近切比雪夫反射系数所确定的阶梯阻抗，野蛮优化还是很靠谱嘛！

 

所以后续仿真设计无源器件图形，在理论指导下搞出初级拓朴结构的前提下，能用野蛮优化的，就用野蛮优化。

 

原文始发于微信公众号（看图说RF）：031_野蛮优化与手工计算阶梯阻抗对比