多节阶梯阻抗变换器工程设计的公式推导 留言

阶梯阻抗变换器指标需求

假设现在有一项目需求分析结果是：做一个微带线超宽带阶梯阻抗变换器，指标如下：

• 从50欧变换到100欧；
• 回波损耗22dB；
• 功率容量：2W；
• 频率范围2~18GHz；
• 插损能做多少就多少，用30mil板厚的Rogers材料做就行。

切比雪夫多项式的性质

用Tn(x)表示切比雪夫的n次多项式，一般可表示为：

可写出前几项切比雪夫多项式：

T0(x)= 1；

T1(x)= x；

T2(x)= 2x²-1；

T3(x)= 4x³-3x；

T4(x)= 8x⁴-8x²+1；

T5(x)= 16x⁵-10x³+5；

图像如下：

上图来自于网上，特点如下：

• 在[-1,1]区间中，Tn(x)在+1与-1之间振荡，有n个零点，n-1个极点，且相间分布，这是等纹波特征，这个区域描绘出匹配变换器的通带内幅频特征。
• 在[-1,1]区间外，Tn(x)的绝对值大于1，且随x和n的值单调上升或下降，这个区域描绘出阻抗变换器通带之外的幅频特征。
• 在[-1,1]的两端点上，Tn(1)=1，Tn(-1)=(-1)ⁿ。

 

符合切比雪夫分布的多节阻抗变换器的设计

根据小反射理论，可推导出多节阻抗变换器的总反射系数：

公式很长，但解读不复杂：

• N表示阻抗变换器的节数；
• θ表示每节的电长度，如果是中心频率f0 = ( fh + fl )/2，那自然是λ/4；
• e^-jNθ表示N节的阻抗变换器随频率而变化的相位，表示矢量的角度；
• Γ0、Γ1……按顺序表示的各不连续面的反射系数；
• 整个公式就是各不连续面反射系数的矢量和，得到总的反射系数Γ(θ)，如下图所示：

上述公式源于以下初始条件：

• 包含源阻抗Zc和负载阻抗ZL在内，阻抗变换器的各节阻抗是按排列顺序单调变化，所以反射系数全部大于零，或者全部小于零。如上图所示；
• 相邻节的阻抗变化较小，突变较小，也就是阻抗连续性较好，两段阻抗相接处的反射系数较小，意味着反射信号只计算一次反射成份；
• 阻抗变换器的反射系数镜像对称分布，但并不意味着阻抗也呈镜像对称分布；

要让上述的总反射系数Γ(θ)符合下面这个切比雪夫公式：

这个切比雪夫公式也是特别选定的，过程如下：

• A就是反射系数的最大值Γm（带内纹波极点）；
• θm与切比雪夫多项式的x=1对应，也就是通带的低频点；
• π – θm与切比雪夫多项式x = -1对应，也就是通带的高频点；
• 于是，可以用x = cosθ/cosθm代入到切比雪夫多项式：

上面的④式在带内取值范围也是x = [1,1]，将④式乘以反射系数矢量，应该得到第③式，然后只需要展开第③式，再比较该恒等式两边相同的nθ余弦函数的系数，就可得到各个不连续面的反射系数Γn。

再用特征阻抗表达式：

就可以算出各段特征阻抗值。

 

多节λ/4超宽带阶梯阻抗变换器的工程设计步骤

第一步，根据下式算出相对带宽w：

W= 2*(18-2)/(18+2) = 1.6

接着算出θm和secθm：

θm = 0.31416

secθm = 1/cosθm = 1.05145

第二步：算出变换器的节数N。指标给出的回波损耗为22dB，我们给出较多余量，例如26dB，电压反射系数0.05，对应带内的切比雪夫纹波0.05。

θ = 0，代入到第③式，意思是计算直流的反射系数（方便计算），也要小于切比雪夫纹波：

令Γm是在通带内可容忍的最大反射系数，所以Γm = 0.05 = abs(A)，得到如下公式：

由于前面算的secθm = 1.05145 > 1，所以选用公式①的下面一行。得到：

可以由上式算出阻抗变换器的节数N，两边同时取arcch函数：

对，就是根据上面的公式⑾，算出有多少节阻抗。算出来N ≈ 8.225。就用8节吧。

第三步：使公式②=③，将算出来的N = 8，和secθm = 1.05145代入到公式②=③，就可得到各种cosnθ的系数也一个个对应相等，于是就能算出各阻抗不连续面的Γ0、Γ1、Γ2、Γ3。其余阻抗不连续面的反射系数镜像对称分布。

第四步，根据公式⑤算各节阻抗。

第五步，ADS中搭电路图，仿真或优化。

第六步，HFSS中仿真，微调或优化。

第七步，PCB投板，测试。

原文始发于微信公众号（看图说RF）：028_多节阶梯阻抗变换器工程设计的公式推导