射频从这里出发——麦克斯韦方程组！ 留言

图1 麦克斯韦和麦克斯韦方程的微积分形式

麦克斯韦方程就是图1中的那两组方程，左边是微分形式的方程组，右边是积分形式的方程组。对于我们很多高等数学恐惧症患者来说，这个方程简直是噩梦，微积分是什么玩意，▽是什么玩意？中间带圈的又是什么鬼？我也是，那些字母代表的意思都看得懂，但是前面的符号是什么？这些符号又表示了什么意思？

直到有一篇爆文在朋友圈出现——《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）》《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）》这两篇文章刷爆了射频人的朋友圈。咱们祖师爷的玩意居然被玩的这么通透？所以小木匠也拼命的学习麦克斯韦方程，查资料，论文，甚至都把麦克斯韦最早的论文都翻出来了——““On Physical Lines of Force,” (1861）” “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field,”  (1865)，A Treatise on Electricity and Magnetism, Volume 2 (Oxford, U.K.: Clarendon Press, 1873)

这玩意，看的阅读越迷糊，有兴趣的同学，可以阅读一下麦克斯韦的这三篇著作

但是，我们换个角度，抛开那些复杂的运算符号，去理解麦克斯韦方程，是不是会更容易一点？

先看第一个方程，无论是微分形式还是积分形式，每个方程的左边都是对电场E的操作。而右边是一个电荷相关的量（电荷密度ρ和总电荷Q），也就是他描述的是电场和电荷的关系。电场和电荷什么关系呢？很多中学生就可以脱口而出，电荷产生电场，再去理解这个微分形式和积分形式就简单了。微分，就是把一个大物体分成很多小块，而积分就是把很多小块积累成大物体。麦克斯韦方程式1 的微分形式就是当我们对一个分闭曲面趋于无穷小的时候的电场就是它的电荷密度ρ。那么积分形式就是一定封闭曲面内的电场的积分就是这个封闭曲面内包含的总电荷量。进一步理解，就是这个电场是有源的，产生这个电场的源就是电荷。

这就是我们中学所学的电场的高斯定律，库伦定理的延申。借助下面的图再理解一下，加深一下印象。

相应的，这个第二个方程也就简单了。左边的电场E变成了磁感应强度B，右边变成了0. 这又怎么理解呢？比如这第二个方程的微分形式，左边是一个无限小封闭曲面内的磁通量怎么等于0呢？积分形式表示一个封闭曲面内的磁通量总和等于0？

确实是这样的，因为一个磁体，它的磁力线总是闭合的，也就意味着一个封闭曲面内穿过多少磁力线，就有多少磁力线回来，总的磁通量为0，也就是说，这个封闭曲面内不可能包含一个磁单体，磁力线是闭合的。 因为我们还没有发现单磁体，虽然人们还在不断的研究寻找。是不是当人们发现了磁单体的时候，这个公式需要改写？毕竟这条高斯磁定律是高斯在200年前提出的，那时候还是鸦片战争时期。

那么后面这两个公式就更有意思了。左边是一个空间的函数，右边是一个时间的函数，当时间和空间放到一起的时候，变化就产生了。并且还有个有意思的事情，公式的一侧是电场E或者电位移D，而另一侧是磁感应强度B或者磁场强度H，（注意E，D，B，H都是矢量，头顶上都要带箭头的），也就是说，通过变化，把磁场和电场联系起来了。

这是一个了不起的发现，这个发现要归功于伟大的平民科学家法拉第，从鞋匠到科学家的蜕变史，值得我们每一个人学习。先看麦克斯韦方程式3，随时间变化的磁场，可以产生电场，这可是法拉第经过了无数次试验的一个发现，电动机也因此而产生，人类开始从蒸汽时代买入电力时代。注意，这个产生的电场和电荷产生的电场是不一样的，这种感应电场为漩涡场。麦克斯韦方程式4 就更直接了，不仅电流J，会产生磁场，变化的电场也会产生磁场。电和磁在这个时候实现了历史性的握手，形成了交替并进的波，把信息送给千家万户。

不知道到这，大家对麦克斯韦方程组有没有看懂。这个时候，我们再返回到奇怪的数学的符号：▽x，▽·，这个倒三角 ▽ 称为哈密顿（ Hamiltonian）算子，读作“ 那勃乐”，代表对x，y，z坐标系下的微分，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质。

其运算方式比如：

进而延伸出后面的运算▽x，▽·。这两个在麦克斯韦方程组中起关键作用的运算符号。

▽· 是指散度符号，表示矢量场发散的强弱程度，物理上表示矢量的有源性，如果散度大于0，就是这个矢量有正源，如果小于0，就是负源，等于零就是没有源了。

而▽x 是旋度符号，表示矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。

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原文始发于微信公众号（射频学堂）：射频从这里出发——麦克斯韦方程组！