Coupler之一：分支线耦合器公式极简推导 留言

微带分支线耦合器特例：初始边界条件

初始边界条件之一：四个端口无反射，阻抗统一匹配为Z₀ = 50欧，参见本公众号还没及时录入的科普文章《射频标准阻抗为什么定为50欧》；

初始边界条件之二：任何端口都可当做输入端口，也就是说拓朴结构满足X轴镜像对称、Y轴镜像对称、180度旋转对称；

初始边界条件之三：构成分支线耦合器的四条边的长度全部是1/4波长；这是站在经典文献推导出结论（基石）上，参见经典文献的推导过程；

初始边界条件之四：输入端口信号总功率1+K² ，其中输出到直通端口功率为P_直 = 1，耦合端口功率为P_耦 = K²，隔离端口无信号输出；

隔离端的信号，本质是上图红蓝两路信号的矢量叠加构成的，两路信号路径相差λ/2，相位相反，互相抵消。所以要精确控制上图中的Z1和Z2，使得两路信号功率幅度相等，才能抵消到零。

微带分支线耦合器阻抗公式的最简推导过程

关于隔离端，在《018_Splitter之八：再谈功分器中的隔离电阻》中用到射频电路的两个基本概念：

• 隔离端无信号，等效于虚地；
• λ/4传输线终端短路——等效输入阻抗为开路；

从而将功分器电路简化。

本文同样采用这个老办法，来简化微带分支线耦合器电路，下面右图就是简化后的电路：

于是，连接虚地隔离端的λ/4两个支路的输入阻抗等效为开路，在电路上就消失了。就成为一个简单的无隔离电阻的功分器，如右图所示。

那么对剩下的两段微带线阻抗的求解，就可参见《015_Splitter之五：T形节微带线阻抗》中的步骤做。

对于直通端所在的三岔口，向下看Z2的等效阻抗，如下图蓝色所示，符合λ/4阻抗变换器公式：

Zin= Z₂*Z₂ /Z ₀      ——⑴

上式中的Z₀表示耦合端的特征阻抗，如下图红色Z₀所示。

根据三岔口的电压连续性方程，三岔口的功分比与等效阻抗呈反比关系：

P_直 * Z₀= P_耦 * Zin ——-⑵

上式中的Z₀表示直通端的特征阻抗，如上图黑色Z₀所示。

P_耦 / P_直 = K²    ——-⑶

Z1长度为λ/4，如上图绿色所示，从Z1向右看三岔口的等效输入阻抗为Z₀//Zin，同样符合λ/4阻抗变换器公式：

Z₁* Z₁ = Z₀ * (Z₀ // Zin)     ——⑷

//表示并联阻抗。

联立上述四个等式，可求出：

仿真验证

假设功率比为2，这是一个耦合度甚至超过3dB的极强耦合器，也就是说：直通功率为P_直 = 1，耦合功率P_耦 = K² = 2，代入公式⑸，可得：

Z1= 28.9 ohm

Z2= 35.35 ohm

由于耦合度极强，所以这两个支路的阻抗都非常低，线宽很宽。

在ADS中搭一个简单电路：

仿真得到所有端口在2GHz频点的阻抗都是匹配在50欧，如下图所示：

再看各端口的功率传输曲线：

上图表示，在2GHz频点，隔离端的隔离度指标非常好，耦合端的信号功率比直通端的信号功率大3dB，功率分布满足2倍关系：P_耦/ P_直 = K² = 2。

只不过带宽有点窄，这是分支线耦合器的缺点之一。

证明了分支线耦合器阻抗公式的最简推导过程是正确的。

原文始发于微信公众号（看图说RF）：025_Coupler之一：分支线耦合器公式极简推导